Équation cartésienne d'un plan
Maths Terminale
Définition
Dans un repère orthonormé de l'espace, tout plan admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$, où $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$. Le vecteur $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ formé par les coefficients de $x$, $y$ et $z$ est un vecteur normal au plan, c'est-à-dire orthogonal à celui-ci. Le réel $d$ se détermine en imposant qu'un point connu du plan vérifie l'équation.
Formule
$$ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec} \quad \vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \text{ normal au plan}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ passant par le point $A(1\,;2\,;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2\,;-1\,;3)$.
Solution
Le vecteur normal $\vec{n}(2\,;-1\,;3)$ donne directement les coefficients : l'équation est de la forme
$$2x - y + 3z + d = 0.$$
Le point $A(1\,;2\,;3)$ appartient à $P$, donc ses coordonnées vérifient l'équation :
$$2 \times 1 - 2 + 3 \times 3 + d = 0$$
$$2 - 2 + 9 + d = 0 \implies 9 + d = 0 \implies d = -9.$$
Une équation cartésienne de $P$ est donc :
$$\boxed{2x - y + 3z - 9 = 0}.$$
Erreurs classiques
- Oublier que les coefficients $(a, b, c)$ donnent les coordonnées du vecteur normal (et non un vecteur directeur du plan).
- Calculer $d$ avec un signe erroné : il faut bien reporter les coordonnées du point dans l'équation, puis isoler $d$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans et produit scalaire » (cours et exercices corrigés).