Discriminant
Maths Première
Définition
Le discriminant d'un trinôme du second degré $ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) est le nombre noté $\Delta$ qui détermine le nombre de racines réelles de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$. Si $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes ; si $\Delta = 0$, une racine double ; si $\Delta < 0$, aucune racine réelle.
Formule
$$\Delta = b^2 - 4ac \qquad x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\Delta > 0) \qquad x_0 = \dfrac{-b}{2a} \ (\Delta = 0)$$
Exemple corrigé
Énoncé
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
Solution
On identifie $a = 2$, $b = -3$ et $c = -2$. On calcule le discriminant :
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$$
Comme $\Delta = 25 > 0$, l'équation admet deux racines réelles distinctes. Avec $\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5$ :
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$
$$\boxed{S = \left\{ -\tfrac{1}{2} \ ;\ 2 \right\}}$$
Erreurs classiques
- Erreur de signe dans $-4ac$ lorsque $a$ ou $c$ est négatif (ici $-4\times2\times(-2)=+16$).
- Oublier le $-b$ au numérateur ou diviser par $a$ au lieu de $2a$ dans la formule des racines.
Pour aller plus loin : le chapitre « Second degré » (cours et exercices corrigés).