Demi-vie (radioactivité)
Physique-Chimie Terminale
Définition
La demi-vie $t_{1/2}$ d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents s'est désintégrée. Elle est caractéristique d'un noyau donné et reliée à la constante radioactive $\lambda$. La désintégration suit une loi de décroissance exponentielle, le nombre de noyaux étant divisé par 2 à chaque demi-vie écoulée.
Formule
$$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$
Exemple corrigé
Énoncé
L'iode 131 a une demi-vie $t_{1/2} = 8{,}0\ \text{jours}$. Un échantillon contient initialement $N_0 = 4{,}0\times 10^{12}$ noyaux. Combien en reste-t-il au bout de 24 jours ?
Solution
La durée écoulée correspond à un nombre entier de demi-vies :
$$n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{24}{8{,}0} = 3$$
À chaque demi-vie, le nombre de noyaux est divisé par 2. Après 3 demi-vies :
$$N = \frac{N_0}{2^{3}} = \frac{N_0}{8}$$
Application numérique :
$$N = \frac{4{,}0\times 10^{12}}{8} $$
$$\boxed{N = 5{,}0\times 10^{11}\ \text{noyaux}}$$
On peut vérifier avec la loi exponentielle : $\lambda = \dfrac{\ln 2}{8{,}0}$ et $N = N_0\,e^{-\lambda \times 24} = N_0\,e^{-3\ln 2} = N_0/8$.
Erreurs classiques
- Croire qu'après deux demi-vies il ne reste plus aucun noyau : il en reste $N_0/4$ (la décroissance n'est jamais nulle).
- Confondre la demi-vie $t_{1/2}$ et la constante radioactive $\lambda$, ou oublier le facteur $\ln 2$ dans leur relation.
Pour aller plus loin : le chapitre « Transformations nucléaires et radioactivité » (cours et exercices corrigés).