Cosinus, sinus, tangente (triangle rectangle)
Maths Seconde
Définition
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$, on définit trois rapports trigonométriques à partir des côtés : le côté opposé à l'angle, le côté adjacent et l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit). Le cosinus est le rapport adjacent sur hypoténuse, le sinus opposé sur hypoténuse et la tangente opposé sur adjacent. Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA.
Formule
$$\cos\widehat{A}=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin\widehat{A}=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan\widehat{A}=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$, on a $AB=10$ cm (hypoténuse) et $AC=8$ cm. Calculer $\cos\widehat{A}$, $\sin\widehat{A}$, $\tan\widehat{A}$, puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{A}$.
Solution
L'angle droit est en $C$, donc l'hypoténuse est $AB=10$. Pour l'angle $\widehat{A}$, le côté adjacent est $AC=8$ et le côté opposé est $BC$.
On calcule d'abord $BC$ avec le théorème de Pythagore :
$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$$
On applique alors SOH-CAH-TOA :
$$\cos\widehat{A}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=0{,}8 \qquad \sin\widehat{A}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=0{,}6 \qquad \tan\widehat{A}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=0{,}75$$
Enfin, avec la calculatrice (touche $\cos^{-1}$) :
$$\widehat{A}=\cos^{-1}(0{,}8)\approx 36{,}9^\circ$$
Donc :
$$\boxed{\cos\widehat{A}=0{,}8 \;;\; \sin\widehat{A}=0{,}6 \;;\; \tan\widehat{A}=0{,}75 \;;\; \widehat{A}\approx 36{,}9^\circ}$$
Erreurs classiques
- Confondre côté adjacent et côté opposé : ils dépendent de l'angle considéré, pas du triangle.
- Prendre comme hypoténuse un autre côté que celui opposé à l'angle droit (l'hypoténuse est toujours le plus grand côté).
Pour aller plus loin : le chapitre « Trigonométrie dans le triangle rectangle » (cours et exercices corrigés).