Continuité d'une fonction
Maths Terminale
Définition
Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ : la limite existe et vaut la valeur de la fonction en $a$. Elle est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en chaque point de $I$. Intuitivement, on peut tracer sa courbe « sans lever le crayon ». En Terminale, on admet que les fonctions polynômes, rationnelles, racine, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
Formule
$$f \text{ continue en } a \iff \lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$
Exemple corrigé
Énoncé
On considère $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ pour $x\neq 2$ et $f(2)=m$. Pour quelle valeur de $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?
Solution
On calcule la limite de $f$ en $2$. Pour $x\neq 2$, on factorise le numérateur :
$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.$$
Donc :
$$\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2=4.$$
La fonction est continue en $2$ si et seulement si $\lim_{x\to 2} f(x)=f(2)$, c'est-à-dire $4=m$.
$$\boxed{m=4}$$
Erreurs classiques
- Croire qu'une fonction définie en $a$ y est automatiquement continue : il faut que la limite existe ET soit égale à $f(a)$.
- Simplifier $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ en oubliant que cette égalité avec $x+2$ n'est valable que pour $x\neq 2$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Continuité et dérivabilité » (cours et exercices corrigés).