Coefficient directeur
Maths Seconde
Définition
Le coefficient directeur (ou pente) d'une droite non verticale est le nombre $a$ dans son équation réduite $y=ax+b$. Il mesure l'inclinaison de la droite : quand $x$ augmente de $1$, $y$ varie de $a$. À partir de deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ de la droite (avec $x_A\neq x_B$), il se calcule comme le rapport de l'accroissement des ordonnées sur l'accroissement des abscisses.
Formule
$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Une droite passe par $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,11)$. Déterminer son coefficient directeur, puis son équation réduite.
Solution
On calcule le coefficient directeur $a$ avec la formule :
$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{11-2}{4-1}=\frac{9}{3}=3$$
L'équation réduite est de la forme $y=3x+b$. Pour trouver $b$, on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d'un point de la droite, par exemple $A(1\,;\,2)$ :
$$2=3\times 1+b \iff b=2-3=-1$$
L'équation réduite de la droite est donc :
$$\boxed{a=3 \quad\text{et}\quad y=3x-1}$$
Erreurs classiques
- Inverser numérateur et dénominateur : c'est bien l'écart des $y$ divisé par l'écart des $x$, pas l'inverse.
- Soustraire les coordonnées dans un ordre différent en haut et en bas (ex. $y_B-y_A$ mais $x_A-x_B$), ce qui donne un signe faux.
Pour aller plus loin : le chapitre « Géométrie repérée : vecteurs et droites » (cours et exercices corrigés).