Coefficient binomial
Maths Terminale
Définition
Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (lu « $k$ parmi $n$ ») désigne le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$, sans tenir compte de l'ordre. Il est défini pour des entiers $0 \le k \le n$ et s'exprime à l'aide des factorielles. On le retrouve dans le triangle de Pascal et dans la loi binomiale.
Formule
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \qquad \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, \qquad \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Dans une classe de 10 élèves, combien de délégations différentes de 3 élèves peut-on former ?
Solution
Choisir 3 élèves parmi 10, sans ordre, correspond à $\dbinom{10}{3}$.
$$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}.$$
On calcule le numérateur : $10 \times 9 \times 8 = 720$, et le dénominateur : $3 \times 2 \times 1 = 6$.
$$\binom{10}{3} = \frac{720}{6} = 120.$$
Il y a donc $\boxed{120}$ délégations possibles.
Erreurs classiques
- Tenir compte de l'ordre : utiliser un arrangement (avec ordre) alors que le coefficient binomial compte des combinaisons (sans ordre).
- Se tromper dans la simplification de la factorielle et oublier de diviser par $k!$, ce qui surévalue le résultat.
Pour aller plus loin : le chapitre « Combinatoire et dénombrement » (cours et exercices corrigés).