Cercle trigonométrique
Maths Première
Définition
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). À chaque réel $x$ on associe un unique point $M$ du cercle tel que la longueur de l'arc parcouru vaut $x$ : $\cos x$ est l'abscisse de $M$ et $\sin x$ son ordonnée.
Formule
$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$
Exemple corrigé
Énoncé
Sachant que $\cos x = \dfrac{3}{5}$ et que $x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, déterminer la valeur exacte de $\sin x$.
Solution
On utilise la relation fondamentale de la trigonométrie :
$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$
D'où :
$$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
Donc :
$$\sin x = \pm \frac{4}{5}$$
Il faut choisir le bon signe. Comme $x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, le point $M$ est dans le premier quadrant où l'ordonnée est positive : $\sin x \geqslant 0$.
On conserve donc la valeur positive :
$$\boxed{\sin x = \frac{4}{5}}$$
Erreurs classiques
- Oublier le double signe $\pm$ lors du passage de $\sin^2 x$ à $\sin x$, ou ne pas justifier le signe à l'aide du quadrant.
- Confondre cosinus (abscisse) et sinus (ordonnée), ou travailler avec un cercle de rayon différent de $1$.
Pour aller plus loin : le chapitre « Trigonométrie » (cours et exercices corrigés).