Asymptote
Maths Terminale
Définition
Une asymptote est une droite dont la courbe représentative d'une fonction se rapproche infiniment sans jamais (en général) l'atteindre. On distingue trois types : l'asymptote horizontale d'équation $y=\ell$ quand $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\ell$, l'asymptote verticale d'équation $x=a$ quand $\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$, et l'asymptote oblique $y=ax+b$ quand $\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$. Étudier une asymptote revient donc à calculer une limite.
Formule
$$\lim_{x\to+\infty} f(x)=\ell \;\Rightarrow\; y=\ell \text{ asymptote horizontale} \qquad \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty \;\Rightarrow\; x=a \text{ asymptote verticale}$$
Exemple corrigé
Énoncé
Déterminer les asymptotes de la courbe représentative de $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$.
Solution
Asymptote verticale. La fonction n'est pas définie en $x=3$. Étudions la limite : quand $x\to 3$, le numérateur tend vers $2\times 3+1=7>0$ et le dénominateur tend vers $0$.
- Pour $x\to 3^{+}$ : $x-3\to 0^{+}$, donc $f(x)\to +\infty$.
- Pour $x\to 3^{-}$ : $x-3\to 0^{-}$, donc $f(x)\to -\infty$.
La droite d'équation $x=3$ est asymptote verticale.
Asymptote horizontale. Pour les limites en l'infini, on factorise par le terme dominant :
$$f(x)=\frac{2x+1}{x-3}=\frac{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}{x\left(1-\frac{3}{x}\right)}=\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}.$$
Quand $x\to\pm\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$ et $\frac{3}{x}\to 0$, donc $f(x)\to\frac{2}{1}=2$.
La droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.
$$\boxed{x=3 \text{ (verticale)} \quad\text{et}\quad y=2 \text{ (horizontale)}}$$
Erreurs classiques
- Confondre asymptote horizontale (limite en $\pm\infty$) et asymptote verticale (limite en une valeur finie $a$).
- Annoncer une asymptote verticale sans préciser les limites à droite et à gauche, qui peuvent valoir $+\infty$ d'un côté et $-\infty$ de l'autre.
Pour aller plus loin : le chapitre « Limites » (cours et exercices corrigés).