CNC 2026 · PSI · Mathématiques 2
CNC 2026, filière PSI, matière maths, épreuve 2.
- Durée : 4 h
- 58 questions
- Difficulté : 4/5
Présentation du sujet
Un exercice d'analyse suivi d'un problème d'algèbre linéaire. L'exercice construit les polynômes de Laguerre, orthogonaux pour le produit scalaire $(P \mid Q) = \int_0^{+\infty} P(t)Q(t)\mathrm{e}^{-t}\,dt$. Le problème étudie ensuite les endomorphismes $\varphi_A$ et $\gamma_A$ associés à une matrice : réduction, théorème de factorisation, caractérisation des matrices nilpotentes par leurs valeurs propres, et description complète du spectre.
Thèmes abordés
- polynômes orthogonaux
- produit scalaire et espaces euclidiens
- intégrales à paramètre
- réduction des endomorphismes
- endomorphismes nilpotents
- valeurs propres et polynôme caractéristique
Parties et questions
Exercice
- 1 Pour tout couple $(P,Q)\in \mathbb{R}_n[X]^2$, on note : $$(P|Q) = \int_0^{+\infty} P(t)Q(t)e^{-t}\,dt$$ 1. Justifier que l'intégrale définissant $(P|Q)$ est convergente.
- 2 2. Montrer que l'application $(\cdot|\cdot): \mathbb{R}_n[X]\times\mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}$ est un produit scalaire.
- 3 3. Soit $k\in \llbracket 1,n\rrbracket$. À l'aide d'une intégration par parties, établir que : $$\int_0^{+\infty} t^k e^{-t}\,dt = k\int_0^{+\infty} t^{k-1}e^{-t}\,dt$$
- 4 4. Conclure que $(X^k|1) = k!$ pour tout entier $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$.
- 5 On considère l'application $\alpha$ définie sur $\mathbb{R}_n[X]$ par : $$\forall P \in \mathbb{R}_n[X], \quad \alpha(P) = XP'' + (1-X)P'.$$ 5. Montrer que $\alpha$ est un endomorphisme de…
- 6 6. Écrire la matrice de $\alpha$ dans la base $(1,X,\ldots,X^n)$.
- 7 7. En déduire que $\alpha$ est diagonalisable et que $\mathrm{Sp}(\alpha) = \{-k \mid k\in\llbracket 0,n\rrbracket\}$.
- 8.1 8. On fixe un entier $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$. 8.1. Quelle est la dimension de $\ker(\alpha + k\,\mathrm{Id}_{\mathbb{R}_n[X]})$ ?
- 8.2 8.2. En déduire qu'il existe un unique polynôme $P_k \in \mathbb{R}_n[X]$, de coefficient dominant égal à 1, vérifiant $\alpha(P_k) = -kP_k$.
Partie 1 · Un exemple
Partie 2 · Réduction de l'endomorphisme φ_A
Partie 3 · Un théorème de factorisation
Partie 4 · Une caractérisation des matrices nilpotentes
Partie 5 · Étude des valeurs propres de γ_A
Le corrigé détaillé, question par question, est disponible gratuitement sur cette page.