CNC 2026 · PSI · Mathématiques
CNC 2026, filière PSI, matière maths, épreuve 1.
- Durée : 4 h
- 43 questions
- Difficulté : 4/5
Présentation du sujet
Une seule formule, la formule de Taylor avec reste intégral, et trois usages très différents. Après un exercice de probabilités sur le minimum et l'écart de deux variables géométriques, le problème l'établit par intégrations par parties télescopiques, s'en sert pour démontrer l'irrationalité de $\mathrm{e}$ puis l'indépendance de $(1, \mathrm{e}, \mathrm{e}^2)$ sur $\mathbb{Q}$, et enfin pour obtenir les inégalités de Landau entre les normes des dérivées successives.
Thèmes abordés
- formule de Taylor avec reste intégral
- irrationalité de e
- inégalités de Landau
- déterminant de Vandermonde
- loi géométrique
- séries entières
Parties et questions
Exercice
- 1.1 Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ vérifiant $X(\Omega)=Y(\Omega)=\mathbb{N}$ et il existe…
- 1.2 1.2. Établir que la variable aléatoire $X$ admet une espérance $\mathbb{E}(X)$ puis la calculer.
- 1.3 1.3. Soit $k \in \mathbb{N}$. Montrer que $\mathbb{P}(X \geqslant k) = q^k$.
- 1.4.1 1.4. Étude de la variable aléatoire $X+Y$. 1.4.1. Dans quel ensemble la variable aléatoire $X+Y$ prend-elle ses valeurs ?
- 1.4.2 1.4.2. Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $$\mathbb{P}(X+Y=n) = \sum_{k=0}^n \mathbb{P}((X=k)\cap(Y=n-k)) = (n+1)p^2q^n.$$
- 1.4.3 1.4.3. Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels. Lorsque $k>n$, calculer la probabilité conditionnelle $\mathbb{P}_{(X+Y=n)}(X=k)$.
- 1.4.4 1.4.4. Supposons que $k \leqslant n$. Démontrer que $$\mathbb{P}_{(X+Y=n)}(X=k) = \frac{1}{n+1}.$$
- 1.5.1 1.5. On considère les variables aléatoires $V$ et $M$ définies par : $$V = Y-X \quad \text{et} \quad M = \min(X,Y),$$ où $\min(a,b)$ désigne le plus petit des deux réels $a$ et $b$. 1.5.1. Dans…
- 1.5.2 1.5.2. Pour tout entier naturel $k$, montrer que $$\mathbb{P}(M \geqslant k) = q^{2k}.$$
Partie 1 · Formule de Taylor avec reste intégrale : une première application
Partie 2 · Application à l'indépendance linéaire de la famille (1, e, e²)
Partie 3 · Majoration des normes uniformes des dérivées successives d'une fonction
Le corrigé détaillé, question par question, est disponible gratuitement sur cette page.