CNC 2026 · MP · Mathématiques 2

CNC 2026, filière MP, matière maths, épreuve 2.

  • Durée : 4 h
  • 62 questions
  • Difficulté : 5/5

Présentation du sujet

Tout le sujet tourne autour d'un seul endomorphisme : $\Phi_{A,B}(M) = AM - MB$. L'exercice traite d'abord les réflexions $\varphi_u(x) = 2\frac{\langle x \mid u \rangle}{\langle u \mid u \rangle}u - x$, puis le problème étudie $\Phi_{A,B}$ sur cinq parties : exemples en dimension 2, spectre et lien avec $\mathrm{Sp}(A)$ et $\mathrm{Sp}(B)$, critère de nilpotence via Cayley-Hamilton, puis son adjoint dans l'espace euclidien $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

Thèmes abordés

  • réduction des endomorphismes
  • polynôme caractéristique
  • Cayley-Hamilton
  • endomorphismes nilpotents
  • adjoint et espaces euclidiens
  • matrices orthogonales et antisymétriques
  • réflexions

Parties et questions

Exercice

  • 1.1.1 1.1.1. Montrer que $\varphi_u$ est un endomorphisme de $E$.
  • 1.1.2 1.1.2. En calculant $\varphi_u \circ \varphi_u$, montrer que $\varphi_u$ est un automorphisme de $E$ et déterminer son inverse $\varphi_u^{-1}$.
  • 1.1.3 1.1.3. Soit $x$ appartenant à $E$, calculer $\langle \varphi_u(x) \mid \varphi_u(x) \rangle$.
  • 1.1.4 1.1.4. En déduire que $\varphi_u$ conserve le produit scalaire, c'est-à-dire que : $$\forall (x,y) \in E^2, \langle \varphi_u(x) \mid \varphi_u(y) \rangle = \langle x \mid y \rangle.$$
  • 1.1.5 1.1.5. On note $D_u$ la droite vectorielle de base $u$ et $H_u = D_u^\perp$. Déterminer l'image de $D_u$ par $\varphi_u$. En déduire sans calcul que $H_u$ est stable par $\varphi_u$.
  • 1.1.6 1.1.6. Reconnaître alors la nature géométrique de l'endomorphisme $\varphi_u$ et en donner les éléments caractéristiques.
  • 1.2.1 1.2.1. Donner la dimension et une base orthonormale de $H^\perp$.
  • 1.2.2 1.2.2. Écrire la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ de la projection orthogonale sur $H^\perp$ puis celle de la projection orthogonale sur $H$.
  • 1.2.3 1.2.3. Soit $v$ un vecteur unitaire de $H^\perp$. Écrire la matrice de $\varphi_v$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$.

Partie 1 · 1ère Partie - Exemples

Partie 2 · 2ère Partie - Spectre de $\Phi_{A,B}$

Partie 3 · 3ère Partie - Diagonalisation de $\Phi_{A,B}$

Partie 4 · 4ère Partie - Étude de $\Phi_{A,B}$ via les multiplications à gauche et à droite

Partie 5 · 5ère Partie - Adjoint de $\Phi_{A,B}$

Le corrigé détaillé, question par question, est disponible gratuitement sur cette page.

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