CNC 2025 · MP · Mathématiques 2
CNC 2025, filière MP, matière maths, épreuve 2.
- Durée : 4 h
- 49 questions
- Difficulté : 4/5
Présentation du sujet
Un sujet d'algèbre entièrement construit autour de la trace. L'exercice réduit une matrice par son polynôme annulateur, puis le problème l'aborde sous trois angles : l'automorphisme $X \mapsto X + \mathrm{Tr}(X)A$, la caractérisation de $|\mathrm{Tr}|$ comme seule semi-norme vérifiant $q(MN) = q(NM)$, et enfin le critère $A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}) \iff \mathrm{Tr}(AU) \leqslant \mathrm{Tr}(A)$ pour toute matrice orthogonale $U$. Le théorème spectral est l'outil central.
Thèmes abordés
- trace
- réduction des endomorphismes
- polynôme annulateur
- théorème spectral
- matrices symétriques positives
- groupe orthogonal
- semi-normes
Parties et questions
Exercice
- 1.a On pose $f_1 = (1,1,1)$ et $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x+y-z=0\}$. Déterminer deux vecteurs $f_2$ et $f_3$ de $\mathbb{R}^3$ tels que $F = \mathrm{Vect}(f_2,f_3)$, avec $f_2 = (a,0,b)$ et…
- 1.b Montrer que la famille $(f_1,f_2,f_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
- 2.a Vérifier que $A^2 - 3A + 2\mathrm{I}_3 = \mathrm{O}_3$, avec $\mathrm{O}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ la matrice nulle.
- 2.b En déduire que $A$ est inversible et déterminer son inverse $A^{-1}$.
- 3.a Déterminer les deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : $A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $A\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ b \end{pmatrix}…
- 3.b Montrer qu'il existe une matrice diagonale $D$ et une matrice $P$ inversible, qui sont à déterminer, telles que $A = PDP^{-1}$.
- 3.c Montrer, par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$, $A^n = PD^nP^{-1}$.
Partie 1 · Préliminaires
- 1 Montrer que l'application $\mathrm{Tr} : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$, $M \mapsto \mathrm{Tr}(M)$, est linéaire.
- 2.a Soient $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ et $N=(n_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\mathrm{Tr}(MN) = \dis…
Partie 2 · La valeur absolue de la trace comme étant une « fonction génératrice »
Partie 3 · Caractérisation d'une matrice de $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ par la notion de trace
Le corrigé détaillé, question par question, est disponible gratuitement sur cette page.