CNC 2024 · MP · Mathématiques 2
CNC 2024, filière MP, matière maths, épreuve 2.
- Durée : 4 h
- 47 questions
- Difficulté : 5/5
Présentation du sujet
Un sujet d'algèbre linéaire entièrement construit autour des endomorphismes nilpotents. Un exercice de diagonalisation sert de mise en route, puis le problème enchaîne cinq parties de difficulté croissante, jusqu'à déterminer la dimension maximale d'un sous-espace de matrices nilpotentes. Il récompense la maîtrise des arguments de dimension et des polynômes d'endomorphismes bien plus que l'habileté calculatoire.
Thèmes abordés
- réduction des endomorphismes
- diagonalisation
- endomorphismes nilpotents
- noyaux et images itérés
- lemme des noyaux
- sous-espaces caractéristiques
- matrices circulantes
- théorème spectral
Parties et questions
Exercice
- 1.a
- 1.b
- 2.a
- 2.b
- 2.c
- 3.a
- 3.b
- 3.c
Partie 1 · Noyaux itérés
- 1
Partie 2 · Les endomorphismes nilpotents de rang n-1
Partie 3 · Réduction d'un endomorphisme particulier
Partie 4 · Cycles
Partie 5 · La dimension maximale d'un sous-espace vectoriel des matrices nilpotentes
Le corrigé détaillé, question par question, est disponible gratuitement sur cette page.