CNC 2023 · MP · Mathématiques 2
CNC 2023, filière MP, matière maths, épreuve 2.
- Durée : 4 h
- 33 questions
- Difficulté : 4/5
Présentation du sujet
Un sujet court mais dense, qui mène à la décomposition polaire. Après un exercice de probabilités sur la diagonalisabilité d'une matrice aléatoire, le problème établit que toute matrice s'écrit $C = OS$ avec $O$ orthogonale et $S$ symétrique positive, puis en déduit la distance d'une matrice au groupe orthogonal $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. Le théorème spectral et la compacité en dimension finie sont les deux appuis.
Thèmes abordés
- décomposition polaire
- théorème spectral
- groupe orthogonal
- matrices symétriques positives
- distance à une partie
- compacité
- probabilités discrètes
Parties et questions
Exercice
- 1.1.1 On considère $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ et on pose $A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$. Justifier que si $\alpha \neq \beta$, alors la matrice $A$ est diagonalisable…
- 1.1.2 Montrer que si $\alpha = \beta$, alors la matrice $A$ n'est pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
- 1.2.1 Dans cette section, $X$ et $Y$ désignent deux variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ et suivant une loi géométrique de paramètres…
- 1.2.2 Déterminer la loi de la variable aléatoire $U = X + Y$ selon les valeurs des paramètres $p_1$ et $p_2$. On précisera d'abord l'ensemble des valeurs de la variable aléatoire $U$.
- 1.2.3 Montrer que la variable aléatoire $V = \min(X,Y)$ suit une loi géométrique de paramètre $1-(1-p_1)(1-p_2)$. On pourra commencer par calculer $\mathbb{P}(V>k)$, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.
- 1.2.4 Montrer que $\mathbb{P}(X<Y) = \dfrac{p_1(1-p_2)}{p_1+p_2-p_1p_2}$.
- 1.2.5 On considère la variable aléatoire discrète $M : \Omega \longrightarrow \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, définie sur l'espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ par : $\forall\, \omega \in…
Partie 1 · Quelques résultats préliminaires
- 1.1 On rappelle qu'une matrice symétrique $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est dite *positive* si elle vérifie : $\forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}), \; {}^tXAX \geqslant 0$. Montrer que si $M…
- 1.2.1 On considère une matrice diagonale $D = \mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, à termes positifs. Soit $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ de composantes $x_1,\ldots,x_n$.…
Partie 2 · Décomposition polaire d'une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
Partie 3 · Application à un calcul de distance
Le corrigé détaillé, question par question, est disponible gratuitement sur cette page.