CNC 2026 · MP · Mathématiques
CNC 2026, filière MP, matière maths, épreuve 1.
- Durée : 4 h
- 52 questions
- Difficulté : 5/5
Présentation du sujet
La transformée de Laplace, construite de bout en bout. Après un exercice sur la loi binomiale négative, le problème calcule $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} t^{-1/2}\,dt = \sqrt{\pi}$ sans jamais invoquer la fonction $\Gamma$, étudie $F(x) = \sum \frac{x^{2n}}{(n!)^2}$ et son équivalent, puis passe au cas général : abscisse de convergence, et comportement de la transformée de deux fonctions équivalentes.
Thèmes abordés
- transformée de Laplace
- séries entières
- intégrales à paramètre
- convergence dominée
- équivalents et développements asymptotiques
- loi binomiale négative
Parties et questions
Exercice
- 1.1 1.1. Rappeler le développement en série entière de $x \mapsto \dfrac{1}{1-x}$ ainsi que son domaine de convergence.
- 1.2 1.2. Montrer que pour $m \in \mathbb{N}$ : $$\forall x \in\ ]-1,1[,\quad \frac{m!}{(1-x)^{m+1}} = \sum_{k=m}^{+\infty} \frac{k!}{(k-m)!}x^{k-m}.$$
- 1.3 1.3. Montrer que la série $\sum_{k \geqslant n} \binom{k-1}{n-1}p^n q^{k-n}$ converge et que sa somme vaut $1$.
- 1.4 1.4. Reconnaître la loi de $Y_1$.
- 1.5 1.5. Expliquer rapidement pourquoi $S_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$.
- 1.6 1.6. Pour $k \geqslant n$, calculer $\mathbb{P}(S_k=n\ \text{et}\ S_{k-1}=n-1)$.
- 1.7 1.7. Comment interpréter la loi de la variable $Y_n$ ?
- 1.8.1 1.8.1. Quel est l'ensemble des valeurs possibles pour $Z_n$ ?
- 1.8.2 1.8.2. Sans utiliser la question 1.7. précédente, et en effectuant un raisonnement par dénombrement, montrer que $Z_n$ suit la même loi que $Y_n$.
Partie 1 · Calcul d'une intégrale auxiliaire
Partie 2 · Étude de la fonction F
Partie 3 · Transformée de Laplace de F
Partie 4 · Cas général : transformée de Laplace et abscisse de convergence
Partie 5 · Comparaison des transformées de Laplace de deux fonctions équivalentes
Le corrigé détaillé, question par question, est disponible gratuitement sur cette page.