CNC 2025 · MP · Mathématiques
CNC 2025, filière MP, matière maths, épreuve 1.
- Durée : 4 h
- 44 questions
- Difficulté : 4/5
Présentation du sujet
Un sujet d'analyse qui converge vers l'intégrale de Dirichlet. Après un exercice sur les intégrales à paramètre, le problème enchaîne quatre parties : une série géométrique dérivée et son application à la loi géométrique, la résolution d'une équation différentielle vérifiée par une intégrale à paramètre, puis le calcul de $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$. Il récompense la maîtrise des théorèmes d'interversion bien plus que l'habileté calculatoire.
Thèmes abordés
- intégrales à paramètre
- séries entières
- convergence dominée
- équations différentielles linéaires
- loi géométrique
- intégrale de Dirichlet
- intégration par parties
Parties et questions
Exercice
- 1.a Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+$ à valeurs réelles. On note $\varphi_f$ l'application définie, pour tout réel $x$, pour lequel l'intégrale existe, par…
- 1.b b) En déduire que $\varphi_f$ est définie sur $\mathbb{R}$.
- 1.c c) Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(x,t)\mathrm{e}^{-t} = 0$.
- 2.a 2. On considère les deux fonctions réelles $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+$ par $$g(x,t) = \cos(xt) \quad \text{et} \quad h(x,t) = \sin(xt).$$ a) Vérifier que $\varphi_g$ et…
- 2.b b) Montrer, en appliquant une intégration par parties, que : $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \varphi_g(x) = 1 - x\varphi_h(x).$$
- 2.c c) Montrer, en appliquant une intégration par parties, que : $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \varphi_h(x) = x\varphi_g(x).$$
- 2.d d) En déduire que : $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \varphi_g(x) = \frac{1}{1+x^2}.$$
- 2.e e) Montrer que : $$\forall x \in\, ]0,+\infty[, \quad \int_0^x \varphi_g(u)\,du + \int_0^{\frac{1}{x}} \varphi_g(u)\,du = \frac{\pi}{2}$$ et $$\forall x \in\, ]0,+\infty[, \quad \int_0^x…
Partie 1 · Étude d'une série géométrique particulière et son application
- 1.a Soit $f$ une fonction continue sur $\mathcal{D}_1 \times \mathcal{D}_2$ à valeurs réelles, où $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$. Pour tout entier naturel $n$…
Partie 2 · La résolution d'une équation différentielle
Partie 3 · Une autre expression de $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-tx}}{1+x^2}\,dx$
Partie 4 · Application : le calcul de $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx$
Le corrigé détaillé, question par question, est disponible gratuitement sur cette page.