CNC 2023 · MP · Mathématiques
CNC 2023, filière MP, matière maths, épreuve 1.
- Durée : 4 h
- 48 questions
- Difficulté : 4/5
Présentation du sujet
Une équation différentielle $y'' + y = f$ prise comme fil conducteur. L'exercice liminaire cherche un extremum d'une fonction de deux variables, puis le problème exprime les solutions sous forme intégrale et en tire deux applications : le calcul de l'intégrale de Dirichlet $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2}$, puis l'étude de $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{\mathrm{e}^t - 1}\,dt = \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{1+n^2}$.
Thèmes abordés
- équations différentielles linéaires
- intégrales à paramètre
- séries de fonctions
- intégrale de Dirichlet
- extremum de fonctions de deux variables
- convergence dominée
Parties et questions
Exercice
- 1.1 Justifier que la fonction $F$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ et calculer ses dérivées partielles premières en tout point de $\mathbb{R}^2$.
- 1.2 Montrer que la fonction $F$ admet un unique point critique $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ et le déterminer.
- 2.1 Calculer les dérivées partielles secondes de $F$ au point $(x_0,y_0)$.
- 2.2 À l'aide de la matrice Hessienne, montrer que la fonction $F$ présente un extremum local au point $(x_0,y_0)$. Est-ce un minimum ou un maximum local ?
- 3.1 Soit $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ ; on pose $u=x$ et $v=y-3$. Vérifier que $F(x,y)=u^2+uv+v^2-9$.
- 3.2 Montrer qu'en fait la fonction $F$ présente un extremum absolu strict au point $(x_0,y_0)$. On pourra remarquer que $\forall (u,v)\in\mathbb{R}^2,\ u^2+uv+v^2=\left(u+\dfrac{v…
Partie 1 · Expression intégrale des solutions de l'équation différentielle (𝓛_f). Application au cas où f est 2π-périodique
- 1.1 Montrer que l'ensemble $\Sigma_0$ des solutions, sur $\mathbb{R}$, de l'équation différentielle $y''+y=0$ est un espace vectoriel réel ; préciser sa dimension et en donner une base.
- 1.2.1 Justifier que les fonctions $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont dérivables sur $I$ et exprimer $\varphi_1'(x)$ et $\varphi_2'(x)$ pour tout $x\in I$.
- 1.2.2 Montrer que, pour tout $x\in I$, $\varphi_{f,x_0}(x)=\varphi_1(x)\sin x-\varphi_2(x)\cos x$. Que vaut $\varphi_{f,x_0}(x_0)$ ?
Partie 2 · Application à l'étude d'une intégrale dépendant d'un paramètre et au calcul de l'intégrale de Dirichlet
Partie 3 · Application à l'étude de la somme d'une série de fonctions
Le corrigé détaillé, question par question, est disponible gratuitement sur cette page.